La Derivada

Dada la función continua con respecto a una variable, si el incremento de la funciónes dividido por el incremento de la variable , el limite de la cociente , cuando el incremento de la variable tiende a cero , si existe, es llamado derivada de la función con respecto a la variable.

Esto es , la derivada es el límite del cociente del incremento de la variable dependiente entre el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero, .

Si las notaciones mas comunes para para indicar la operación derivada de una función con respecto a x son las siguientes:

BIOGRAFIA DE LAGRANGE

BIOGRAFIA DE CAUCHY:

BIOGRAFIA DE LEIBNIZ:

En esta notación se representa la operación de diferenciar mediante el operador d/dx , es decir, la operación "derivada de la función f respecto de x" se representaría de este modo d/dx como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicos del cálculo tales como la regla de la cadena, que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto)d/dx ; o bien el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales d/dx .

La expresión para derivar de una función es :
Si se usa ƒ’(x):

nota: se lee la derivada de la función f(x) es…

Nota: se lee la derivada de y respecto a x es:

Para hallar la derivada se produce a resolver la razón de cambio promedio y posteriormente se obtiene el límite de dicha razón cuando el incremento de x tiende a cero.

EJEMPLO:

Encuentra la derivada de f(x)= 2x + 3

SOLUCIÓN:


EJEMPLO 2:

Encuentra la derivada de :

SOLUCION:

REGLAS BASICAS

· PARA UNA CONSTANTE “a”:

Si f(x)=a, su derivada es f’(x)= 0
Ejemplo: si f(x) = 16 ¡, su derivada es f’(x)= 0

· PARA LA FUNCION IDENTIDAD f(x) = x

Si f(x), su derivada es f’(x)= 1
Ejemplo: si f(x)= x, su derivada es ‘(x)= 1

· PARA UNA CONSTANTE “a” POR UNA VARIABLE “x” :

Si f(x)= ax, su derivada es f’(x)= a
Ejemplo: si f(x)=7x, su derivada es f’(x)=7

· PARA UNA VRIABLE “x” ELEVADA A UNA POTENCIA “n”

Si f(x)=xn , su derivada es f‘(x)=nxn-1
Ejemplo : si f(x)=x3 , su derivada es f’(x)=3x2

· PARA UNA CONSTANTE “a” POR UNA VARIABLE “x” ELEVADA A UNA POTENCIA “n”

Si f(x)= axn , su derivada es f’(x)= anxn-1
Ejemplo:
Si f(x) =4x2 , su derivada es f’(x) =8x

· PARA UNA SUMA DE FUNCIONES

Si f(x)= u(x) + v(x), su derivada es f(x)= u’(x) + v(x)
Ejemplo: si f(x)= 3x2+ 4x, su derivada es f'(x)= 6x-4

REGLA DEL PRODUCTO

Esta regla es util cuando se tiene una funcion formada de la multiplicadion de polinomios, como por ejemplo: f(x)= (2x3 + 3)(3x4 - 5 ) ; la regla del producto es :

si "u"y "v" son los polinomios

la funcion es: f(x) = uv

la derivada es: f'(x) = u'v + uv'

EJEMPLO:

¿Cual es la derivada de f(x)= (2x3 + 3)(3x2 - 5)?

f(x)= (2x2 + 3) (3x4 - 5)

f'(x)= (6x2)(3x4 - 5) +(2x2 + 3)(12x3)

REGLA DE COSIENTE

Esta regla es util cuando se tiene una funcion formada de la divicion de polinomios , como por ejempo: f(x) = 2x3 + 3/ 3x4 - 5: la regla de cosiente es:

Si la "u" y "v" son los polinomios

la funcion :f(x)=u/v

la derivada: f'(x)= u'v - uv' / v2

EJEMPLO

¿Cual es la derivada de f(x)= 2x3 + 3 / 3x4-5

f(x)= 2x3 + 3/ 3x4 - 5

f '(x)= (6x2)(3x4 - 5 ) - (2x3 + 3) (12x3) /(3x4 - 5)2

REGLA DE CADENA

Esta regla es util cuando se tiene una funcion dormada por un polinomio elevado a una potencia como por ejemplo: f(x)= (2x3 -+3)5: la regla de cadena es:

Si "u" es el polinomio:

la funcion :f(x)=un

su derivada f'(x)= n(n)n-1(u')

EJEMPLO:

¿Cual es la derivada de f(x) =(2x3+ 3)5?

f(x)0 (2x3 + 3)5

f'(x)=5(2x3+ 3)4(6x2)

f'(x)= 30x2(2x43-3)4